Lógica formal

Lógica formal , el estudio abstracto de proposiciones, enunciados u oraciones utilizadas asertivamente y de argumentos deductivos. La disciplina abstrae del contenido de estos elementos las estructuras o formas lógicas que encarnan. El lógico usa habitualmente una notación simbólica para expresar tales estructuras de forma clara e inequívoca y para permitir que las manipulaciones y las pruebas de validez se apliquen más fácilmente. Aunque la siguiente discusión emplea libremente la notación técnica de la lógica simbólica moderna, sus símbolos se introducen gradualmente y acompañados de explicaciones para que el lector general serio y atento pueda seguir el desarrollo de las ideas.

La lógica formal es un estudio a priori, no empírico. En este sentido, contrasta con las ciencias naturales y con todas las demás disciplinas que dependen de la observación para sus datos. Su analogía más cercana es la matemática pura; de hecho, muchos lógicos y matemáticos puros considerarían a sus respectivos sujetos como indistinguibles, o simplemente como dos etapas de la misma disciplina unificada. La lógica formal, por tanto, no debe confundirse con el estudio empírico de los procesos de razonamiento, que pertenece a la psicología. También debe distinguirse del arte del razonamiento correcto, que es la habilidad práctica de aplicar principios lógicos a casos particulares; y, aún más claramente, debe distinguirse del arte de la persuasión, en el que los argumentos inválidos son a veces más efectivos que los válidos.

Observaciones generales

Probablemente el enfoque más natural de la lógica formal es a través de la idea de la validez de un argumento del tipo conocido como deductivo. Un argumento deductivo se puede caracterizar aproximadamente como uno en el que se afirma que alguna proposición (la conclusión) se sigue con estricta necesidad de alguna otra proposición o proposiciones (las premisas), es decir, que sería inconsistente o contradictorio afirmar las premisas pero niegan la conclusión.

Para que un argumento deductivo tenga éxito en establecer la verdad de su conclusión, deben cumplirse dos condiciones muy distintas: primero, la conclusión debe seguir realmente de las premisas, es decir, la deducción de la conclusión de las premisas debe ser lógicamente correcta y En segundo lugar, las premisas mismas deben ser verdaderas. Un argumento que cumple con estas dos condiciones se llama sólido. De estas dos condiciones, el lógico como tal sólo se ocupa de la primera; el segundo, la determinación de la verdad o falsedad de las premisas, es tarea de alguna disciplina especial o de observación común apropiada al tema del argumento. Cuando la conclusión de un argumento es deducible correctamente de sus premisas, se dice que la inferencia de las premisas a la conclusión es (deductivamente) válida, independientemente de si las premisas son verdaderas o falsas.Otras formas de expresar el hecho de que una inferencia es deductivamente válida son decir que la verdad de las premisas da (o daría) una garantía absoluta de la verdad de la conclusión o que implicaría una inconsistencia lógica (a diferencia de una mera error de hecho) para suponer que las premisas eran verdaderas pero la conclusión falsa.

Las inferencias deductivas de las que se ocupa la lógica formal son, como sugiere el nombre, aquellas para las que la validez no depende de ninguna característica de su objeto sino de su forma o estructura. Por tanto, las dos inferencias (1) Todo perro es un mamífero. Algunos cuadrúpedos son perros. ∴ Algunos cuadrúpedos son mamíferos. y (2) Todo anarquista cree en el amor libre. Algunos miembros del partido del gobierno son anarquistas. ∴ Algunos miembros del partido del gobierno creen en el amor libre. difieren en el tema y, por lo tanto, requieren diferentes procedimientos para verificar la verdad o falsedad de sus premisas. Pero su validez está asegurada por lo que tienen en común, a saber, que el argumento en cada es de la forma (3) Cada X es una Y . Algunas Z son Xs. ∴ Algunos Z ‘s son Y ‘s.

La línea (3) anterior puede denominarse forma de inferencia, y (1) y (2) son entonces instancias de esa forma de inferencia. El letras- X , Y , y Z -en (3) marcan los lugares en los que se pueden insertar las expresiones de un cierto tipo. Los símbolos usados ​​para este propósito se conocen como variables; su uso es análogo al de la xen álgebra, que marca el lugar en el que se puede insertar un número. Una instancia de una forma de inferencia se produce reemplazando todas las variables en ella por expresiones apropiadas (es decir, las que tienen sentido en el contexto) y haciéndolo de manera uniforme (es decir, sustituyendo la misma expresión siempre que la misma variable se repita). La característica de (3) que garantiza que cada instancia será válida es su construcción de tal manera que toda forma uniforme de reemplazar sus variables para hacer que las premisas sean verdaderas automáticamente hace que la conclusión también sea verdadera, o, en otras palabras, que ningún ejemplo de ello puede tener premisas verdaderas sino una conclusión falsa. En virtud de esta característica, la forma (3) se denomina forma de inferencia válida. Por el contrario, (4) Cada X es una Y . Algunos Z's son Y ' s. Algunos ∴ Z ‘s son X ‘s. no es una forma de inferencia válida, ya que, aunque pueden producirse instancias en las que las premisas y la conclusión son todas verdaderas, también pueden producirse instancias en las que las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa, por ejemplo, (5) el perro es un mamífero. Algunas criaturas aladas son mamíferos. ∴ Algunas criaturas aladas son perros.

La lógica formal como estudio se ocupa de las formas de inferencia más que de instancias particulares de ellas. Una de sus tareas es discriminar entre formas de inferencia válidas e inválidas y explorar y sistematizar las relaciones que se mantienen entre las válidas.

Estrechamente relacionada con la idea de una forma de inferencia válida está la de una forma de proposición válida. Una forma de proposición es una expresión de la cual las instancias (producidas como antes por reemplazos apropiados y uniformes de variables) no son inferencias de varias proposiciones a una conclusión, sino proposiciones tomadas individualmente, y una forma de proposición válida es aquella para la que todas las instancias son proposiciones verdaderas. Un ejemplo simple es (6) Nada es tanto una X como una no X. La lógica formal se ocupa tanto de las formas de proposiciones como de las formas de inferencia. De hecho, se puede hacer que el estudio de las formas de proposiciones incluya el de las formas de inferencia de la siguiente manera: deje que las premisas de cualquier forma de inferencia dada (tomadas en conjunto) se abrevíen por alfa (α) y su conclusión por beta (β) . Entonces, la condición establecida anteriormente para la validez de la forma de inferencia "α, por lo tanto β" equivale a decir que ninguna instancia de la forma de la proposición "α y no-β" es verdadera, es decir, que cada instancia de la forma de la proposición (7) No ambos: α y no-β son verdaderos, o esa línea (7), completamente escrita, por supuesto, es una forma de proposición válida. El estudio de las formas de proposiciones, sin embargo, no puede acomodarse de manera similar bajo el estudio de las formas de inferencia.y así, por razones de amplitud, es habitual considerar la lógica formal como el estudio de las formas proposicionales. Debido a que el manejo de las formas de las proposiciones por parte de un lógico es análogo en muchos aspectos al manejo de fórmulas numéricas por parte de un matemático, los sistemas que construye a menudo se denominan cálculos.

Gran parte del trabajo de un lógico procede a un nivel más abstracto que el de la discusión anterior. Incluso una fórmula como (3) anterior, aunque no se refiere a ningún tema específico, contiene expresiones como "todos" y "es un", que se cree que tienen un significado definido, y las variables están destinadas a marcar los lugares para expresiones de un tipo particular (aproximadamente, sustantivos comunes o nombres de clases). Sin embargo, es posible —y para algunos propósitos es esencial— estudiar fórmulas sin atribuirles siquiera este grado de significación. La construcción de un sistema lógico, de hecho, implica dos procesos distinguibles: uno consiste en establecer un aparato simbólico: un conjunto de símbolos, reglas para encadenarlos en fórmulas y reglas para manipular estas fórmulas;el segundo consiste en atribuir ciertos significados a estos símbolos y fórmulas. Si sólo se hace lo primero, se dice que el sistema no está interpretado o es puramente formal; si también se hace lo último, se dice que el sistema se interpreta. Esta distinción es importante, porque los sistemas lógicos resultan tener ciertas propiedades con bastante independencia de cualquier interpretación que se les pueda dar. Un sistema axiomático de lógica puede tomarse como ejemplo, es decir, un sistema en el que ciertas fórmulas no probadas, conocidas como axiomas, se toman como puntos de partida y otras fórmulas (teoremas) se prueban sobre la base de estas. Como aparecerá más adelante (porque los sistemas de lógica resultan tener ciertas propiedades con bastante independencia de cualquier interpretación que se les pueda dar. Un sistema axiomático de lógica puede tomarse como ejemplo, es decir, un sistema en el que ciertas fórmulas no probadas, conocidas como axiomas, se toman como puntos de partida y otras fórmulas (teoremas) se prueban sobre la base de estas. Como aparecerá más adelante (porque los sistemas de lógica resultan tener ciertas propiedades con bastante independencia de cualquier interpretación que se les pueda dar. Un sistema axiomático de lógica puede tomarse como ejemplo, es decir, un sistema en el que ciertas fórmulas no probadas, conocidas como axiomas, se toman como puntos de partida y otras fórmulas (teoremas) se prueban sobre la base de estas. Como aparecerá más adelante (vea abajoAxiomatización de PC), la cuestión de si una secuencia de fórmulas en un sistema axiomático es una prueba o no depende únicamente de qué fórmulas se toman como axiomas y de cuáles son las reglas para derivar teoremas de axiomas, y no en absoluto de lo que los teoremas o significan axiomas. Además, un sistema dado no interpretado es en general capaz de ser interpretado igualmente bien de varias formas diferentes; por tanto, al estudiar un sistema no interpretado, se está estudiando la estructura que es común a una variedad de sistemas interpretados. Normalmente, un lógico que construye un sistema puramente formal tiene en mente una interpretación particular, y su motivo para construirlo es la creencia de que cuando se le da esta interpretación, las fórmulas del sistema podrán expresar principios verdaderos en algún campo. de pensamiento; pero, por las razones anteriores, entre otras,Por lo general, se ocupará de describir las fórmulas y enunciar las reglas del sistema sin hacer referencia a la interpretación y de indicar por separado la interpretación que tiene en mente.

Muchas de las ideas utilizadas en la exposición de la lógica formal, incluidas algunas que se mencionan anteriormente, plantean problemas que pertenecen a la filosofía más que a la lógica misma. Algunos ejemplos son: ¿Cuál es el análisis correcto de la noción de verdad? ¿Qué es una proposición y cómo se relaciona con la oración por la que se expresa? ¿Hay algún tipo de razonamiento sólido que no sea ni deductivo ni inductivo? Afortunadamente, es posible aprender a hacer lógica formal sin tener respuestas satisfactorias a tales preguntas, así como es posible hacer matemáticas sin responder preguntas pertenecientes a la filosofía de las matemáticas como: ¿Son los números objetos reales o construcciones mentales?